Note126 Pin群・Spin群

さて、いよいよこれまでの謎の存在だったPin群・Spin群にたどり着いたのだ。

先日の事ををまとめると次のような定義が明確になります。

これは

と考えて良いと思います。そういう群を考えれば良いわけで、ようやくここでピン群（Pin群）というものが出てきます。それでこのPin群の部分群を

と定義します。これはクリフォード代数を偶数パートと奇数パートに分割した時

と書けるのでPin群の部分群であることがよりハッキリしました。

次の事実は良く知られているようです。

なぜPin群なのかはこの関係を眺めていれば分かりますね。冗談のようですが本当のようです。

さて、符号数(p,q)空間におけるディラック・スピノル

においてS(A) の作る群がSpin群と一致します。つまり

ということらしい。