Note107 Lie群・Lie環(Adとadの関係)

先日「多様体入門 松島与三　著」ではadを冒頭で書いたように新たな表現として異なる意味を持った記号として登場していると書きました。それでそれぞれのAdとadの関係が次の公式で結ばれています。

です。実は「多様体入門 松島与三　著」ではadをきなり

と定義しています。なのでこの定義が逆に導出されるはずです。まず右辺の

を形式的に展開してみます。

となります。従って、

一方左辺は

を使うと

と展開できますから、

これと先程の式を比較すると

という事になります。なので

とすれば、

となって冒頭の関係が得られます。

注：
Campbell-Hausdorff の公式を使った点から循環論法になってる気がしないでもないけど、まあ良いや。