Note220 多変数複素関数

複素関数の多変数関数の事。以下のような略記を使う事で１変数の複素関数と同様な表記ができる。

それで、多変数複素関数の場合でも同じ関係が現れる。

なので１変数でも多変数でも対して変わらないのか？と思ったら大きな間違いのようだ。
同じ複素解析関数でも多変数では様相ががらっと変わるようです。

一変数の場合は解析接続により関数の定義域を広げていくことができるのだが２変数以上の多変数関数にではその関数が正則であるような領域を勝手に決める事ができないという制約（正則領域が擬凸状）が出てくるのだそうだ。そして２次元以上の複素領域領域上の正則関数は一斉にして常にそれより真に広い領域に解析接続されてしまう事が起きるそうだ。

この事は1906 年，F. Hartogs は，Mathematische Annalen に発表した論文の中で見出されたのが始まりで、この現象は一変数の正則関数の性質と著しく異なる。二変数以上の多変数の関数においてはその関数が正則であるような領域を勝手に決める事ができないので多変数複素関数での正則領域の問題は，一変数の時とは全く様相が異なっているため本質的な困難がともなうとの事。

この正則領域の問題は非常に難しいために擬凸状領域は正則領域か？という問題（Leviの問題（Hartogsの逆問題）は岡潔が解決するまで未解決の課題だったそうだ。

正則領域と擬凸性、層係数コホモロジー　まったく意味不明、、、、。

そういえば佐藤超関数の時も層係数コホモロジーという概念が出てきた。
どんなイメージの代物なんだろうか？

私のようなシロートにとっては多変数複素解析は遥か彼方の理論だという事は分かった。

さようなら多変数複素解析。