Memo13 場の量子化の概観（2）

Klein-Gordon方程式

からGhostが出て来てしまったのでΨは確率解釈できるような量とすることは出来ない事がわかりました。そこで、このΨをｑ数に読み替える。つまりΨを作用素（演算子）に読み替えてしまいます。これは量子化という手続きをもう一回やってしまうという事です。実際の量子化はさらに複雑で正準量子化といった手順があるようですが自分にはまだ理解できていない概念です。

では、Ψをどんな演算子と読み替えるのでしょうか？ここで生成・消滅演算子の登場です。

のように生成・消滅演算この一次結合とすると言う事で。つまり、完全規格化直交系

を使って

と考えると言う事らしい。そうすると、もはやΨは波動関数では無く演算子になってしまったわけです。こういった演算子を場の演算子といいます。
※実際はｋに相当する値は連続した場合について考えるから∑は積分になるらしい。

で、Ψは波動関数では無く場の演算子になってしまったが波動関数はどうなったかというと場の演算子の真空の平均値（期待値）が波動関数になるということで、例えば、任意のj状態の１粒子状態は

としてちゃんと出てくる。（うまく出来ている）

フェルミオンについても例えば２粒子状態は、

同様な計算をしてみると

となる。（メモ参照）

生成演算子と組み合わせて場の演算子を構成してその真空の期待値を計算すると波動関数が得られるというストーリーらしい。つまり、場の演算子の真空期待値が波動関数になる。（で正しいのか？）

メモ

メモ

は規格化された直交関数。下添え字は抽象的な自由度（ある一つの状態を表す）

こういった関数系はヒルベルト空間の基底として（ヒルベルト空間のベクトルとして）任意の関数は

この時、

これは、

として確かめられます。さらに、

を満たす。こういった関数系を完全性という。これは

として確かめられます。これは例えばkを連続な値にとると

一般に量子論では平面波という基底を持ちいる。Aは適当な規格化定数。

ここで(k)は連続な値の各値へのラベル。これは、つまり次のような関数系を意味している。

つまり、連続な基底においては

という意味になる。あるいは

のように考えれば