Memo24 場の量子化(1) Lagrangian密度から

今日からはもう少し具体的に場の量子化を手順に従って眺めて見ることにします。

まず、Lagrangian(ラグランジアン)密度ありき、なのでそれはどうしても仮定しないといけません。既に旨いLagrangian(ラグランジアン)密度が先達たちによって見つけれられていますのでそれを使わせてもらいましょう。その一つがスカラーの場にたいして、

これを最小作用の原理の要請からラグランジアン密度の作用積分を最小化します。
この最小化のためにはラグランジュ方程式

を満たすように関数形を選べば良いのでLagrangian密度を代入してみると

となるので見事に（スカラー場の）Klein-Gordon方程式

が飛び出してくる。(詳細な行間はメモを参照)
ラグランジアン密度が意味を持つのはここまで、次に正順交換関係を要請します。その結果、つまりφを演算子に置換（第二量子化）をして

改めて量子化されたKlein-Gordon方程式が再定義される。

と簡単に流してしまいましたので次回は第二量子化をもう少し吟味して見たいと思います。