Memo25 場の量子化(2) 場の演算子(1)

今日は前回すっ飛ばした第二量子化のあたりを少しだけ詳しく学んでみようと思います。まず、

の解を求めてみます。こんな時の手段として解をフーリエ変換して
(これだけの為に第17話でちょっと伏線を引いておいたのでした。）

方程式に代入すると、

から、次の方程式に変換される。

この解はよく知られた解で一般解は

として求められる。

改めてΨのフーリエ変換に差し戻すと、

１項と４項に対して次の変数変換

を行って、相対論的運動量

に注意して規格化の定数を掛けておくと、

となります。ここで次の関数を定義して

書き直すと、

この結果から場の量は

と書けたことになる。そして正準量子化という手続きが背景にあって、第二量子化すると

と摩り替えて量子化される、、、（疲れました）。
注：本当はもっと緻密なストーリーがあるが結局演算子に摩り替わるという点では同じでその基点が前回までに色々と探ってみた正準量子化にある。この点はまた振り返って詰めて見たいと思っている。

他の場（スピノル場、ベクトル場）についても

といった形が現れる点は同じです。つまり、場の演算子は消滅演算子の部分（+）と生成演算子（-）の部分に分ける事ができます。

正エネルギー部(+)・・・消滅
負エネルギー部(-)・・・生成

余談）

うっかりしているとΨは関数のように思えてしまいますがこの式はもはや量子化される前のΨとは異質のものです。それは正準量子化を経て関数（ｃ数）では無く演算子というｑ数になっている点です。しかも超関数を係数としたかなり変態的な演算子に化けているわけで、単独では（数値的な）意味を持ちません。それと正準量子化という手続きのおかげで生成消滅演算子の具体的な様式も得られます。