Note8 多様体上の接ベクトルと微分（１）

多様体Mから多様体M'への微分可能な写像

で次のような線形写像、（Tｐ(M)はM上の点ｐの接ベクトル全体の集合）

つまり、

をφのｐにおける微分というらしい。なんで微分なのか？ともかくそのような線形写像を

と書きます。つまり、線形写像

を次のような計算とする。

つまり、

で、これが微分と言われてもイメージが、、、かなり直感的な理解がしづらい。そこで局所座標系をつかって生で見てみよう。ｐの局所座標系をｘとして接ベクトルは次のように書けるはずです。

また、ｐ’つまりφ(p)の局所座標系をyとすと、

と書けるはずです。

とp'の局所座標は

なのでp'の局所座標は次のように書くことが出来ます。

なので、

です。

そうすると

ですから、

はφ(p)の局所座標系yでそこの基底の一次結合になっているわけで、具体的には、

という線形写像になっているという訳ですね。

これを行列で書いてみると

ちょうどJacobi（ヤコビ）行列になっている事が分かります。n=mの場合は正方行列になるので行列式

が定義できます。これはJacobian(ヤコビアン)になっています。なのでなんとなく写像の微分というイメージが湧きますが、まだ、微分というイメージが湧かないですね。

次回はこのイメージをすっきりさせたいと思います。

今日は「現代微分幾何入門 野水克己　著」p６を解体してみた。