Note15 引き戻し(pull-back)

多様体Mから多様体M'への微分可能な写像で、
「微分可能な写像」って？と言う事だけど何となくイメージはあるけど。この点は明日にして、ともかく滑らかな写像だ。それで、

M上のr次微分形式全体を

とするとき線形写像

をM上の点pに対して次のような線形写像と定義する。

で次のように計算するものとする。

この線形写像をωの引き戻しと言います。（なんで？引き戻しというのか？）
ここで写像の微分を思い出すと印象的です。写像の微分は

でした。＊の付き方が上下で違っている。

どうも実感がないので簡単な微分形式を例に見てみる。

という関係が定義から直ちに得られます。が、もう少し見てみると、

という事で、

p'=φ(p)の局所座標を

として、

さらに微分は

と書けたのだったから、

という印象的な関係を見ることができます。それでなんで「引き戻し」なの？

今の場合はベクトル場に対する引き戻しだったけどスカラー場（多様体上の関数）に対しても自然に導入されて、

を次のように表記します。

を次のような計算とする。

今日は「現代微分幾何入門 野水克己　著」p16。