Note88 無限小の座標回転を考えてみる（３）

無限小変換で出てきたTを使って指数関数expを通すと普通の変換が出てきました。
それで先日の逆をやってみると、

θを無限小とするとこの表示は

これは成分表示では

で無限小変換の式と比較すると

となって一致します。まあ、今までの経緯から当然なのだろうけど。少し整理してみる。無限小回転による無限小座標変換は

と書けました。Tは無限小変換を意味していました。さらに

として普通の座標変換が生成できました。逆に

という１助変数変換群はベクトル場Xを引き起こしていました。そのときこのXを無限小変換と言うのでした。確かにこれまでのストーリーに沿って見ると無限小変換と呼んでも良いだろう。イメージが一致したわけだ。

これまでの行列Tを次のように虚数を使って表す場合もある。

回転マトリクスはLie群でTはジェネレータ（生成子）と呼ばれている。
確かにこれも回転マトリクスを生成している。だからジェネレータ（生成子）と呼んでも良いだろう。