Note213 複素関数（１）美しい世界

ちょっと今日から複素関数ってなんだっけ？という消えうせてゆく記憶を整理しておこうと思った。
※細かい事？厳密な事は専門書に書いてあるのでこの際はどうでも良い（てきとうなのだ）。

単に複素関数と言えば値も変数も複素数の場合

のような関数を指しています。明示的な形に書けば

のような関数。感覚的には文字ｚに関して微分したり積分したり普通の関数とあまり変わらないのでいきなり躓くようなものでも無いと思います。ただ、色々と数学でいう所の美しい結果があるので不思議です。この点は例えば収束というか極限を考えると実変数の場合ある値への極限操作は軸にそって右からか左側からしかありませんがこれが一旦、複素数の世界に行くとあらゆる方向からの考慮が必要になってしまいます。なので極限値をもつという事は非常に過酷な条件でも収束するという事でそれらが揺ぎ無い美しい結果に結実しているのだと思います。

さて、複素関数の微分も見た目はまった同じ定義

ですが「正則」という単語が頻繁に現われます。

ある１点で正則（regular）であるとは，その点の近傍の各点で微分可能なことを指している。まあ、こういった点を関数f(z) の正則点という呼び方をしている。

ややこしい。

結局は「正則」と「微分可能」は大抵は同じと思っても良いような気がするし、普段は同一視してたりする。「全く違う意味だよ」って声が聞こえてきそうだ。だから数学って好きになれない。

とは言っても複素関数には魅力的な性質が幾つもあるのも事実だ。