Note221 Lie群の生成子・構造定数・共変微分（１）

Lie群は生成子Qを使って無限小変換として書くことが出来た。

εはその時のパラメータ。U(1)では位相角度に対応している。なので波動関数は

のように書けた訳です。そしてファイバー束の視点ではGは構造群であってゲージ変換に対応している。

さらに生成子は構造定数によって

と表す事が出来る。
http://blogs.yahoo.co.jp/cat_falcon/23728951.html
Uの無限小変換を考える（高次の無限小を捨てる）と

となる。この時、ゲージ変換で波動関数は

のように変換されるわけで、こういった変換のされかたと同じ変換のされかたを要請する事で共変微分と呼ばれる作用が出てくる。つまり、新たな微分を定義して

この辺の事情となんで「ゲージ」なのかは
http://blogs.yahoo.co.jp/cat_falcon/22701985.html

一方、ゲージ変換は微分幾何の視点で見れば、ファイバー束の変換関数に対応している。そして共変微分はファイバー束上の接続形式と関係していて微分のやりかたというか変換のされ方が接続形式の変換のされ方によって決められる。それはファイバー束の上では平行移動という概念に基づいたずれ方を接続係数（接続形式）で表していてゲージ場の起源を見る事が出来る。Lie群Gは構造群の事であってそれを物理ではゲージ群と呼ぶ。

物理学最前線３「６章のヤン－ミルズ場の共変的量子化（p111）」によればSU(N)ゲージ変換は

共変微分は

となる。唐突にこの式が出てきているので信じるしかないのだけど次回はちょっとこの辺の事情というか行間を自力で埋めて見ようと思う。