Note26 繰り込み法によらない繰り込み（有限化）

場の量子論　中西襄著」p268によれば、
繰り込みによらない有限化をRegularizationと言います。これは

明白に収束していて人為的なパラメータｓを含んでいて
そのパラメータｓのある極限をとるともとの式と同じになるような計算

。

つまり発散しないように余分なパラメータを入れて計算して、計算が終わってからそのパラメータを（例えば）ゼロにする（無かった事にする）。という計算らしい。例えば次のような発散する計算に対して、

のような関数R（レギュレータ）をつかって元の式を再定義してしまう。例えば、ｓをゼロにする極限をとれば元の形式に一致します。それでこれを使って有限化する。と言う事らしい。どうも違和感があるけど。
例えば簡単な例として、

これは無限大に発散します。そこでレギュレータとしてゼータ関数を用意して

とします。確かにｓをゼロにする極限をとれば形式的！に一致します。(インチキですけど）

それでレギュレータを付加した式は（形式的に！）

となって、計算が終わったらｓを無かった事にして（ｓをゼロにする極限）やると

となって

は有限化されて

当然、再定義(Renormalization)後なので

ではなく

の有限化（という人為的な特殊処理を施した後）の結果が「繰り込まれた値」として

と再定義される。、、、やっぱり気持ち悪いな。

ただ、物理という立場で考えると自然現象が提供してくれる結果こそが正しい「解答」だと考えるのであれば数学は物理の手段というか道具と考える事もできるだろう。そうならなにも数学の厳密な土台に立っていなくても良いとも言える。

あるいは、このような無限大の帰結しか得られないのであれば量子電磁気力学は修正されるべきだろうが今のところその修正が可能かどうかは分からない。

この点は誤解があるかもしれないけど例えばニュートン力学はおそらく将来的にも修正されないだろうと思います。つまりニュートン力学が鎮座する範疇というか、、表現が難しいけどニュートン力学は現状で完璧なはずで、ニュートン力学の範疇を超えるには修正ではなくて書き換えというか新理論が必要となると思います。という意味で修正されないと言っています。まあ、それが相対性理論とか量子論なのでしょうか？。

そういう意味でQEDが修正されるのかといとそのような予兆はないらしいので発散の困難を克服するには新たな物理理論かデルタ関数がそうであったように数学が拡張されないと駄目なのかも知れません。

まあ、こういう計算をやれば良いと思っておく方が良いかもしれない。（私の場合はですが）

難しいけど、、、ともかく面白い話です。

次回は実際にこの計算法を使ってCasimir effectを見てみたいと思います。