Note47 構造方程式（１）

次式は構造方程式と呼ばれているようです。

これは、

と言う意味になる。この公式を次のように分けて確認してみます。
（１）X,Yが水平の時
（２）X,Yが垂直の時
（３）Xが水平,Yが垂直の時

X,Yが水平の時は

なので曲率形式の定義と一致するから構造方程式は正しいと分かる。

一方、X,Yが共に垂直な場合、適当な基本ベクトル場が存在して

と考えて良いから、構造方程式の左辺は公式

とNote42の公式を使って、

ここで

を使った。これは接続形式の性質から

をもう少し突っ込んでみるとP上のベクトル場Aは適当な１助変数部分群を使って

と書けるはずだから、

ということで、

一方、構造方程式の右辺は曲率形式の定義から、

なので、

となって確かに成立する。

次にXが水平でYが垂直なときを確認してみる。構造方程式の左辺はやはり次の公式を使う。

基本ベクトル場の定義から

に対して

が生成するベクトル場が対応するベクトル場なので
Note11の公式から

と書けます。また水平部分空間の定義から

従ってこの括弧積は水平となります。従って、

従って、

また、構造方程式の右辺は直接計算して、