Note52 微分幾何と電磁場

少し単調でマンネリ化してきたので視点を変えてみようと思います。とは言っても微分幾何のイメージという路線で。微分幾何のイメージというのはもともと数学したくて始めた訳ではなく物理の理解をもう少し突っ込んで見ようかな？と思ったのが発端なので、、、
それと、まだ置き去りにしている点（まだ理解出来ない所）があって１週間ほど思考停止していました。
どうもこのままだとBlogの更新もずーっと停止しそうなので、というのも一つの理由でもあります。
ある公式ですが「現代微分幾何入門 野水克己　著」の結果にほぼたどり着きましたがマイナス符号が付く点で結果が合いません。何度計算しなおしてもマイナス符号だけ合いません。

さて、電磁場についてはマックスウェルが綺麗にまとめた体系がすでに出来上がっています。

次のような2次微分形式と3次微分形式を考える。

Fの外微分を計算してさらに整理して、

を要請すると次のような関係が各項の係数から分かる。

次にFにホッジ作用素を作用させ、

*Fの外微分を計算して整理して

を要請すると次のような関係が各項の係数から分かる。

こうしてマックスウェルの連立方程式(Maxwell's equations)は

と、なんとも素っ気無い形にまとまってしまう。

さらに次の補題

を使うと４つの方程式は以下のように１個に統一されてしまいます。

一次微分形式

を取り、Fと同様にこの外微分を計算して各項を比較すると

この時、この式の背景にはdF=0が暗黙に存在するので

とするとマックスウェルの連立方程式(Maxwell's equations)は（見た目が）単純な一つの式にまとまります。

また、

なので

という変換で方程式は変わりません。（dd=0 を思い出す）

Fは４元ベクトルポテンシャルに任意性が生じる事が簡単に分かります。