Note58 接続形式と接続係数（共変微分）の関係（２）

少しくどいけど先日の件をもう少し見てみよう。もう少し行列イメージで。
局所フレームを次のように略記する。

この時フレームの変換は次のように書けます。

これはもう少し噛み砕いて覗いてみるとeはベクトルなのでこれの意味するところはつまり、

と言う事になっていて良く分かる。そうすると、共変微分は次のような変換を受ける事が分かる。

となってωは確かに接続形式と同じ変換を受けている。さらに突っ込んで見てみると
局所近傍Uαにおける局所フレームを次のようにとって、

同様にUβにおける局所フレームを次のようにとると、

これを明示的に行列成分で書けば、

従って変換式は次のようになっています。

これで局所フレームの変換が決まったので、

となってやはり、確かに接続形式だ。

とりあえずこの辺で妥協しよう（変な言い方だけど）。私的（シロート）には十分納得。

なのだが、この接続、接続形式と同様に（くだらない、シロートならではの）疑問がまだある。それは曲率テンソルと曲率形式、接続形式の関係、もっとも接続形式と曲率形式の関係は明らかだから曲率テンソルと曲率形式。同じ「曲率」と言っているわけだからやっぱり無関係では無いだろう。
次回はその点を調査だ。