Note66 微分幾何とゲージ変換の関係

ゲージ変換を少し整理してみることにする。局所（ゲージ）変換と微分の置換

これを次のように略記しておく、

この新たな微分も場の変換と同じ変換をして欲しい。つまり

そうなるためには、どうなれば良いのか？

なので、

となって欲しい。そうなるためには、

なのでこの結果と比較して、

次式でなければ成らないことが分かる。

この時点で概ね形式が見えてくるが、

と置いてみると、よりハッキリと分かる。

つまり、Aという場は接続と考える事が出来る。さらに、Aが接続なら

はその接続による共変微分という事になる。

ゲージ変換は座標を変えない変換として大雑把に言って

という事らしい。さらに、

Aという場は接続と見なす事が出来そうです。主ファイバー束が見え隠れします。
まず、Ψは主ファイバー束として見るなら主ファイバー束の断面（切断）そのものという事になる。さらにπは主ファイバー束の射影と見なせる。ｘは今の場合４次元Minkowski(ミンコフスキー)空間の座標だから４次元Minkowski(ミンコフスキー)空間が底空間と見なせる。

主ファイバー束がゲージ変換と重要な関係がある事は「現代微分幾何入門 野水克己　著」p５６で述べられている。この本によればゲージ変換とは
主ファイバー束Pの自己同型写像で底空間Mの恒等変換を引き起こすもの。としている。

確かに、ゲージ変換は主ファイバー束上で底空間の恒等変換を引き起こしているからこの文の意味は大雑把には理解できたのだが、、、まだイメージがスッキリしない。
どうやら随伴束という概念が必要らしいのでその辺を少し散歩してみようと思う。

ゲージ変換についてはこちらのノートに概要を残しておいた。
Note31 位相変換
Note32 ワイルのゲージ変換というアイデア
Note33 ゲージ変換のアイデアって
Note34 局所ゲージ変換