Note84 GPSは凄いのだ

先日、荒い計算だけど時空の湾曲を計算してみた。結果的には1億７千万キロメートルという途方も無い半径で曲がっている。なので曲がっていないといっても良いかもしれない。
と書いたがこの湾曲の効果は実は無視できない。最近の自動車にはカーナビが搭載されていますね。私は付けていないですけど。カーナビはGPS（Global Positioning System）（人工衛星）を利用しています。GPSには超高精度の時計が装備されています。例えば１兆分の１秒という精度（３万年に１秒しか狂わない）を１日、つまり８６４００秒動かしたときその誤差は

これまた途方も無い小さな誤差です。これは無視できますね。とはならない。カーナビはGPS衛星からの情報を電波（光）で受け取るのでこの誤差の間にずれる距離は

そのため高精度な時刻あわせも必要になります。つまり１兆分の１秒程度の時間はGPSとしては小さく無い値というわけです。さて、先日、地球の時空の湾曲を計算してこんなの無視できるね。と書いたがGPS衛星が回る軌道上でどれくらい時間が早く進むかというと

GPS衛星の高度２万キロメートル、地球の質量M、重力定数

を代入すると概ね

百億分の５秒程度だがこの値は無視出来ない大きさです。

一日で１４キロメートルのズレが出てしまいます。１時間で６００メートルのズレです。
このズレが補正されていない状態でカーナビを使うとどんな事になるんでしょうかね。

実際にはさらに特殊相対性理論が予測するズレがあり、GPS衛星の速度がおよそ秒速3880ｍ程度なので、、、ただしGPS衛星はジェットエンジンとかでこの速度の推力を得ているわけではない。

というズレがあるのでトータルでは

１日でおよそ１１ｋｍの誤差を生じます。つまり相対性理論が予測するズレを補正しなければカーナビを信用して使う事など到底出来ないわけすね。
実際には衛星の運動等様々な補正が必要で地形の扁平すら補正の対象になりえるようです。

さらに３次元位置と時間の４つのパラメータを決定する必要があるので(x,y,z,t)を決定する方程式を解く為には最低４個の衛星からの情報を得なければならないだろうから地球の何処に居ても４個の衛星から情報が得られるようにGPS衛星は配置されているらしい。

もし相対性理論が間違っていると言うのであればこの補正を正しく導かなければならないでしょうかね。