Note94 ストークスの定理（Stokes' theorem）

今日からトークスの定理（Stokes’ theorem）を眺めてみようと思っています。

ωをM上の(n-1)次微分形式とする時

という定理。「多様体入門 松島与三　著」p258。さらに

です。これはストークスの定理でM自信をMの領域と思えば∂M＝φなので

「多様体入門 松島与三　著」p262
ストークスの定理はベクトル解析における公式を統括しさらに多様体上に拡張したものだという。今日からこの点を少し確認して行こうと思う。

ιはDの境界からMへの恒等写像。ｄωは外微分です。なのでこの公式は

とも書かれるようです。ιを明示する必要性は∂Dを滑らかな(n-1)次元多様体という事で多様体間の写像という関係を明らかにしているのだろうか（と思います）。ただし境界の向きには注意が必要でMの向きに順応した∂Dの向きという方向付としている。「多様体入門 松島与三　著」p256

それでMの向きに順応した∂Dの向きというのは次のように定められている。
それで境界∂Dの向きはその局所座標系をnが偶数の時は正の局所座標系、奇数の時は負の局所座標系と定めておく。これをMの向きに順応した∂Dの向きという。