Note95 ストークスの定理(2)

先日、長年付き合ってきたテレビがラジオになってしまった。（つまり真っ黒画面）
家電製品が次々と、、、今年は既にエアコンも買い換えたし、、、とうとうテレビも壊れてしまった。
結局、買って来ました。いやー新品って良いね。ほんと画面が綺麗だし。しかも薄い！！。
テレビも見れないし蒸し暑いし結局寝付く事も出来なかったので「多様体入門 松島与三　著」をペラペラとめくって、何となくストークスの公式の証明のイメージが湧きました。

と言う事で、ストークスの公式の証明の概観を見てみようと思います。まず局所座標系を次のように設定する。

領域を十分小さな領域（局所近傍が大きく取れるような場合）を考えると

■■境界と局所近傍系の共通集合が空（φ）の場合■■
この時、微分形式ωは(n-1)個の座標系で書ける。（ωをM上の(n-1)次微分形式）から

従って、

なのでこの条件ではストークスの公式は成り立っている。次に

■■境界と局所近傍系の共通集合が空（φ）では無い場合■■


ここでnが偶数の場合

一方、nが奇数の場合は負の局所座標系としているので

なのでnが偶数でも奇数でも

が成り立つ。

えーっと二つの場合分けをやった所がすっきりしない。
もう少しイメージというか、、、形式的に見れないだろうか？と考えてみた。
というかまだ局所的に成立している事しか確認できていない。
この点も含めて次回までの宿題としておこう。