Note103 それがどうして勾配なのか

先日の疑問点を解消してみる。まず、勾配の定義だけど

となるベクトル場Xを

とするのでした。やはり同じgradを現しているとは思えない。定義に基づいて両辺を具体的に計算して両辺を比較してみます。

なので両辺を比較してみると、

「多様体入門 松島与三　著」p267を得ます。

それで、ユークリッド空間の場合は

なので

となるので確かに勾配を多様体上に拡張した公式になっている。だからgradと書いて良いわけですね。

それでラプラシアンはベクトル解析における定義がそのまま使われているのでもういいだろう。

だ。でも確認しておこう。勾配と発散は既に計算した結果

があるのでこれらをそのまま定義に代入して計算してみると、

従って次の「多様体入門 松島与三　著」p267（９）を得ます。

だから当然なのだけど、ユークリッド空間の場合は

となって一致する。