Note109 曲面の計量

(n+1)次元のユークリッド空間の座標系、n次元多様体Mの局所座標系を

として

のようなｆが定義できるときMを埋め込まれた多様体というものが定義されます。
※あくまで直感的な定義なので正確な定義は数学の本を見てくださいね。

このような埋め込まれた多様体に対して計量は次のように定義されます。

右辺の表記は量子力学ではお馴染みの表記、内積で今の場合はユークリッド空間の普通の内積です。

写像の微分を局所座標系を使って直接書けば、

なので、このような多様体の計量テンソルは

と成る事がわかります。

「現代微分幾何入門 野水克己　著」p113。