Note115 測地線の実例（近日点移動）

法則 : 惑星は、太陽をひとつの焦点とする楕円軌道上を動く。

ところが水星の軌道を詳細に観測してみるとこの法則からズレて楕円軌道は閉じずに、近日点と呼ばれる太陽に最も近づく位置が1周期ごとにズレていくという現象が見られる。この現象を近日点移動と言う。水星の近日点移動の大きさは100年に574秒、当時（１９世紀）には天体に関する物理学はほぼ完成し近日点移動を含めて解明できない現象１％を残すのみと考えられていた。ニュートン力学による計算では

つまり残りの約４３秒が辻褄が合わない。近日点移動を力学的に説明する事も不可能ではなく、金星などの惑星からの質量を補正するとこの現象も説明できるようですがその点における課題は計算に使われた金星等の質量の精度という事になる。それは正しく観測しなおすという単純な課題と思われたが、使われたこれらのパラメータは信頼できる値であるという認識に至った。仮に質量の精度不足とすると金星の質量を観測された値にさらにその値の７分の１を増量しなければならないという事態に陥っていた。この大問題は（太陽の）重力場による時空の湾曲による影響を考慮する事で余分な質量を持ち込むことなく説明できる。この事は時空の湾曲した測地線を求める事でこのズレが具体的に見積もる事ができるが簡単では無い事だけは確かです。

それで具体的な計算だけど、真空中の１点にある自転していない質点の質量Mによる時空の計量はシュバルツシルトの解で与えられるので太陽をこの質点と見なす事で大まかな近似計算ができます。測地線の方程式は

τは固有時(proper time)をパラメータに取っている。なので

は相対論的速度になっている。さて、シュバルツシルトの解は

で、その計量テンソルは直ちに読み取れて

ただし、ミンコフスキー空間の計量を次のように取っている

さて、どうしたものか？調べていて見つけたのがEMANの物理学です。その中に水星の近日点移動というのがあり実際に（具体的に）計算しているので計算手順を追ってみようと思う。
つまり行間を埋めて見ようと思う。