Note242 FPゴースト（Faddeev-Popov ghost）

ともかくヤン・ミルズ場の量子化には困難がある。という所までは前回の概観で分かった。
量子化するためにゲージ固定項を入れた電磁場の場合は余分なスカラー場（B場）を導入していた。これは作用積分に局所変換に対する不変性があると量子化できないからだった。
http://blogs.yahoo.co.jp/cat_falcon/29058289.html

実際は正準量子化はこれを部分積分した形

をゲージ固定項とする。これに真似てヤン・ミルズ場のラグランジアン密度は

電磁場の場合はB場が自由場であるという事が結構重要なのだがヤン・ミルズ場の場合にはN個のB場が必要でそもそもそれらB場が自由場では無くなってしまっている。
そのため補助条件を設定できないという事で量子化が完成しないという困難がある。しかもゲージ固定項を導入した事で局所変換不変性があったことの情報は失われてしまった。

ところがファインマン（Feynman）とド・ウィット（DeWitt）によってヤン・ミルズ場を上手く量子化できる方法が見つけているという事らしい。しかし、その方法は奇抜でとにかくそうしたら上手く行くというもので次のような質量ゼロのスカラー場（とその反スカラー場）を導入する。つまり「フェルミ統計に従う整数スピンの場」を導入する。

また、これらはエルミートであるという条件を満たす。

ただ、このスカラー場はスピノル場でもあるという奇妙なもの。
これは矛盾しているようだが計量が不定計量の場合は許されるそうだ。これはつまりスピンと統計の関係に違反しているので、理論は必然的に不定計量の状態ベクトル空間の導入が要求されるという事らしい。なので一応は矛盾ではないという事らしい。

1963 年にFeynman が1-loop レベルでのghost を導入し1967 年にDeWitt が任意ループのルールに一般化している。