Note262 中心力場にある粒子(メモ)

中心力場にある粒子の量子力学による方程式（シュレーディンガー方程式）は

Uはポテンシャルでｍが質量。一般的に考えるなら波動関数はもっと、というか
簡単に言えばr, θ, φという曲座標系で考える必要がある。そのためにラプラシアンもこの曲座標で表現する必要があってその結果は
http://blogs.yahoo.co.jp/cat_falcon/25798206.html

であった。結果は良く知られた形になって

だが、以下のように簡略化できて

シュレーディンガー方程式は

となります。ここで

と置いてみると

で、

であると仮定すると

というRだけの方程式になる。つまり方程式は分離されて

という2個の方程式になります。それで

の方は良く知られた球面調和関数が解で

ここでmは方程式のmとは無関係な値です。またλは勝手な定数には出来なくて

という関係が要請される。という事でRに関する方程式は

この方程式の解は

１個の粒子がポテンシャルに捕らえられているという単純な場合でもかなり複雑な結果になる。多粒子となると絶望的だろう。
このの解はボーア半径を使って書くと若干だが簡略化できる。

で変数ρを次のように定義する。

つまり、

となる。

※具体的な解法は面倒なので書かない、気力も無い、、、