第16話 壁を通り抜ける

これまでの話
第1話 量子の夜明け
第2話 光は波なのかそれとも粒なのか？
第3話 シュレーディンガー方程式の発見
第4話 Ψは一体何のか？
第5話 観測と状態の重ね合わせについて（二重スリットの実験再考）
第6話 重ね合わせの状態ってどういう状態？
第7話 シュレーディンガーの猫
第8話 不確定という事
第9話 量子力学の基本(の前に雑談）
第10話 量子力学の基本1(量子力学的観測とオブザーバブル）
第11話 量子力学の基本2(量子力学的重ね合わせ状態）
第12話 量子力学の基本3(状態ベクトルの基本)
第13話 量子力学の基本4(状態ベクトルの基本)
第14話 ψと確率と期待値の関係
第15話 ハイゼンベルグの不確定性原理

ここでE < U(x) である必要は無い。

A,B,C,F,G はゼロで無い係数とするとき波動関数Ψは次のような形になる。


この解から粒子の存在位置の観測で壁の中における存在確率がゼロになっていない事がわかる。さらに解は

の場合（壁をジャンプして乗り越える事が出来ない状況）でも壁の外にも観測される可能性を示してる。
これを「トンネル効果」と呼ぶ。さらに興味深いのは

の場合（ジャンプして壁を乗り越える場合）でも乗り越えられない場合がある事を示している。ここで注意したいのは「ジャンプして壁を乗り越える」エネルギーを持っていても乗り越えられないという事を示している訳ではないという点である。例えて言えば５ｍのジャンプが出来る選手が４．５ｍに届かず５ｍが飛べなかったケースという意味ではなく、５ｍの高さでジャンプしているにも関わらず４．５ｍの壁が乗り越えられないような状況である。

|Ψ|^2 のイメージ

粒子がこの|Ψ|^2という曲線に沿って動いている訳ではない。|Ψ|^2の曲線はあるX座標で観測を行ったときにそこで粒子の存在が認められる「確率」でしかない。従って観測ごとに粒子は位置を微妙に変化させて観測されるという事になる。粒子は観測していないときは波の性質があるため質点として粒子が観測されるのは観測した時だけである。なので比喩的に表現すれば粒子は壁の中をすり抜けてくるというよりあるとき突然壁の向こう側に出現するといった方が的を得ているかも知れない。もっともある間隔でじわじわと壁をすり抜けてくるような状況が無いとは否定は出来ないだろが不確定性原理によって連続的な粒子の移動（座標と運動量）はある一定の揺らぎの範囲でしか観測できない。

量子力学によればこのような(U0 > E)透過の確率は

として求める事が出来る。またk a が1.0より十分大であればこの透過確率はほぼ

と近似される。

さらに言えば（もっとおざっぱに言えば）
壁をすり抜けてしまう確率は

として見積もる事が出来る。
ディラック定数1.05457148 × 10^-34の逆数9.48× 10^33が大きく効いているため日常的な値として質量を1g等という値を打ち込もうなら電卓はおろかMathematicaでもギブアップするほど小さな値の確率となる。なので尋常な値は計算できない。
さて誰しも（？）（当然そういった考えも浮かぶだろう）次のような問題を考えたくなる。

●１０ｍの高さの壁を６０kgf の体重の人間がこの壁の向こうに抜ける確率

はおよそ

0.00000000000000000000000000000000000...001%

ここに並ぶゼロの数は10の24乗個である。このゼロの列は１cmの枠に３個づつ並べて書いたとして数十万光年の方まで続いてその先に1が出てくるような超超超超微小な値である。

なのでニュートン力学で問題なく処理できるような対象に対して量子力学を適用するのは（今のところ）全くの無駄だといえる。例え微粒子でもそれを構成する素粒子は膨大でそれら一個一個がいっせいにトンネル効果でそろいもそろって透過しなればならないためかなり非現実的な話だと思う。これが現実的なレベルで起きると体の一部は壁の中に残るといった恐ろしい事にもなりかねない（笑）。