Note20 主ファイバー束

今日からファイバーバンドル（fiber bundle）に入ります。先日からこの章はじっくりと眺めてきてようやくイメージが出来たので図をいっぱい描いてみた。難解な概念のようですがともかく沢山絵を描いてイメージできるようにしてみたいと思います。まずは定義から行きましょう。多様体P、M、G（Lie群）を用意して、以下に挙げる条件を備えている時、
Mを底空間、Gを構造群と呼び、Pは主ファイバー束と呼ばれ、P(M,G) とかかれます。

πは微分可能な写像で射影と呼びます。イメージとしては底空間に投影する写像です。

構造群GはLie変換群で、（右作用とする）

Gの変換でP上の点は動いていきますが射影によって多様体M上の１点に写されてしまいます。また多様体P上ではGの変換で自由に移動できて、これは恒等変換以外で変換で浮動点を持たないという事です。

次に、底空間と構造群Gの直積で、

次のような微分同相写像が定義でき、

次を満たす。

全体的なイメージとしてはこんな感じだろうか。

この事は主ファイバー束Pは局所的には底空間の座標近傍と構造群Gの直積と同じ形（位相同型）になっているという事ですね。つまり適当な座標系を入れて見ると同じに見えてくれるわけだ。だから底空間の座標近傍と構造群Gの直積を全部束ねるとそれが主ファイバー束というものになる（という意味？）。

多様体P上ではGの変換で自由に移動できて、これは恒等変換以外で変換で浮動点を持たないという条件から、

従って、

に限られます。なのでuを固定すると（次ように写像をuと書くと）

はGからb上のファイバーへの微分同相写像になっています。

まだ、よく理解出来ていないがこんなイメージかと思います。例によって微分可能性等の細かい点は端折っているので。

今日は「現代微分幾何入門 野水克己　著」p２６でした。