Note29 ベクトルの平行性について

前回の写像に沿った共変微分の特殊なケースとしてベクトルの平行性の条件が得られます。
多様体Wを線分[0,1]として写像fを

としてこの写像に沿った共変微分は

と全く同じな事は明白ですね。局所座標を使って書くと、

線形接続を仮定すると、


として、

最初の部分の総和iをkに書き換えて、

とできるので最終的に、

これから平行移動なら

なのでベクトルの全ての成分は次を満たさなければならないことが分かります。

これが曲線x(t)に沿って平行といえるためのベクトルの条件という事になります。