Memo48 S行列の具体的な計算(6)

今日も暑かったですね。帰ってみると部屋の中は暖房状態です。ジワジワと汗ばんできますが気合を入れて先日の計算の続きを、、、

光子の自己エネルギー・項

行列要素で表記すると、

数学（行列）に馴れた人ならこの添え字の繰り返しパタンを見ると直ぐにピンと来ると思います。しかし、ぼーっとしていると中々気が付きません。（私もしばらく気が付きませんでした。）そんなぼーっとしている私と同じ人の為に以下にメモを残しておきます。

というトレース（対角和）の公式があります。最初の式はむしろトレースの定義です。２番目の式を見てみるとある法則に気が付きます。さらに次の公式も成り立ちます。添え字に注意して見てください。

そうすると次の公式が成り立つことも分かります。

この事を念頭に置いて先程の式を眺めて見ます。

なので

と書くことが出来ます。

真空エネルギー・項

これは全てのペアでT積の真空期待値をとっているのでｃ数になる。また「光子の自己エネルギー・項」と同じ理由から

「光子の自己エネルギー・項」ではマイナスが掛かっていますがこちらはスピノル場を２回移動しているのでマイナスは打ち消されています。これまでの結果をまとめて陽に書き下せば、

これでT積が展開できた事になりまが、プロパゲータを使って書くともう少し見やすくなりますので次回はプロパゲータを使ってまとめて見ます。