Note8 Feynmanの恒等式(Feynman identity)

今日はQEDでは有名な公式を見てみたいと思います。一見すると難しそうですが綺麗な公式なので簡単に覚えられそうです。

その公式はFeynmanの恒等式(Feynman identity)と呼ばれています。

デルタ関数を含む積分は０ から∞ までする必要はなく, デルタ関数の発散点を含めばよいから、

この公式は数学的帰納法を使えば意外と簡単に示す事ができます。
ｒ＝１の場合

となって成立しています。次にrのとき成り立つと仮定してr+1でも成立する事を確認してみます。その前に次の公式を示しておきます。

これは次の微分の公式が成り立っているので、

これから、

なのでこれを少し整理すると

となって成立しています。さて、話を元に戻してrの時成立していると仮定すると、

として先程の公式に代入すると、

なので、これを先程の式（１）に代入すると、

ここで、次の変数変換を行う。

そうするとデルタ関数因子は

δ関数の公式

から、

となります。また変数変換で積分は

ですから、

となる。積分変数名を次のように置換して

積分区間はδ関数を入れているので１から∞にしてもよいから

となってr+1でも成立することが分かる。ということでFeynmanの恒等式(Feynman identity)の証明が出来ました。