Note86 無限小の座標回転を考えてみる（１）

回転ゼロの座標回転は単位行列なので無限小ωが単位行列からのズレ具合として表す事ができる。無限小の座標回転は

と書けます。ωは無限小なので

と計算する。もちろんそんな数は存在しないがこのやり方ははよく行われる。とても小さいからその二乗はゼロになるような値。通常は何かの計算の後にゼロへの極限操作を行うのでこういう計算を行う。
例えば

として良い。つまりこれは

という事。だから無限小の2次因子がある項は最初から捨てておいて問題が無いというわけだ。
さて、座表変換で距離が変化しないという等長条件

を使うと

それでこの無限小ωはなんだ？ということなのだが、2次元の座標回転を回転角度で書くと

これをテーラー展開してみると

なので角度θを無限小とすると

これと先程の無限小変換と比較すると

という事でωは回転角度そのものになっている事が分かる。３次元の場合は回転軸をeとする時

これと無限小変換の式との比較から（εはレビチビタの記号）

こうして３次元の無限小回転は

レビチビタの記号を使う換わりに次のような行列を用意しておくと

と書くことが出来ます。さらにこの行列は

と書けます。各軸ごとの回転を基本的な回転と考えると

となって行列Tは非常に基本的な役割を果たしています。
つまり無限小変換はTそのものと言っても良いかもしれません。

ん、、こうしてみるとジェネレータ（生成子）、構造定数というキーワードが見えてきました。
参考書「場の解析力学」高橋康・著p20～p25