Note102 光子の平方根がスピノル（スピノール）って

(1)Dirac方程式は平方根？

はKlein-Gordon方程式を形式的には因数分解することで得られました。
https://cat-falcon.hatenablog.com/entry/14171942

もともとKlein-Gordon方程式は負の確率密度をもってしまうスカラー場の方程式だった。それをディラックが因数分解することで正の確率密度になるようにした訳だが普通に考えると

となってどうやってもKlein-Gordon方程式にはならない。つまりそんな因数分解は出来ないのだがそこは私のようなシロートとは違うところであってγを行列だと見抜いたアイデアはさすがだ。
ところが問題もある。Ψも次のように

多成分としなければならなくなった。ところがこれをベクトルと考えては駄目でそれはその変換性を見たときにDirac方程式がローレンツ共変であるべきとするならそれは特殊な量であることが分かる。それがスピノル（スピノール）量だ。という事になる。と言うのが前回わかった事だなんだけど。

スピノル（スピノール）は１回転しても戻らず２回転で元に戻るという奇妙な性格をもっているがこの奇妙な2価性はこういった経緯を考えると奇妙でもない気もする。ところがスピノル（スピノール）の比喩的表現では光子の平方根だという。ちなみにKlein-Gordon方程式は役に立たない方程式とも思えるけど第二量子化によって波動関数が負の確率密度を持つと言う解釈はしなくて良くなる。

 

(2)光子の平方根がスピノル（スピノール）って
まあ、これも一種の比喩だろうけどそれはそれなりのイメージというか理由があるはずです。
イメージ重視の私としては理解しておきたい。
以前、スピノル（スピノール）からベクトルが構成できると言う事を見ました。
これがどうもそのイメージの入り口のような気がする。Ψをスピノル（スピノール）とするとき

と変換される。確かにベクトルだ。ところでこれは（あくまでイメージとしては）

というイメージかな？と思う。ところでこのベクトルの形は次のFeynaman図に対応する事が式の形から分かります。

そう考えるとスピノル（スピノール）２個（電子・反電子）と光子１個は同じと見る事が出来る。そうすると

というイメージだろうか。（ちょっと無理がある気がする）

その他のバリエーションとしては次のようなのもある。