Note92 多様体を滑らかに変形した時の積分

微分形式ωが体積要素の場合
http://blogs.yahoo.co.jp/cat_falcon/20131705.html

なので多様体の体積というのは

と言う事で凄く直感的で良い。向きを変えないという条件の下で次の公式が成り立ちます。

＊は引き戻しhttp://blogs.yahoo.co.jp/cat_falcon/20236927.html
これはちょうど積分の変数変換に相当している。というのは概ね次のような事情からわかる。


ここで最後の右辺は普通の積分なので

という普通の積分の変数変換になっている。

「多様体入門 松島与三　著」p245 では向きを変えてしまう変換を考慮して

としている。

まあ、直感的には多様体を滑らかに変形してもその積分は変わらないと言う事だろう。
と言いたいが直感的には変だ。
多様体を滑らかに変形したら表面積や体積も変わると思うのがむしろ直感的だ。
と思ったが良く考えると変形したらヤコビアンが掛かってくるからそれが調整量として働いて変形してもその積分は変わらないという事だろう。とりあえず納得。