Note96 ストークスの定理（3）

さて、先日の宿題だけど、もう少し簡素にならないかと悩んだが大差無い結果しか思いつかず断念。まあイイヤ。それで全体として

が言えるのか？という事が残ったわけですが、直感的には局所近傍で成り立っているのでそれらを合算するという事になる。それで各領域を見てみると

隣り合った区画は方向が反転しているので打ち消しあって結局一番外側だけが残る事になります。問題は境界付近の区画です。

適当な座標変換により境界付近でのD の形を正方形にしてしまえば良いだろう。滑らかに変形しても積分は変わらないと言うのだから。というのがかなり直感的な方法だろうか。
それで「１の分割」あるいは「単位の分割」というヤツを使えば良い。

というような関数の族fを近傍系Uに従属した「単位の分割」という。そうすると

ですから、局所的なもの合算すると確かに成り立っている。一見、無限和に見えるが多様体がコンパクトなら高々有限個の和になるはずですよね。
そうするとそんな都合の良い「単位の分割」が存在するのだろうか？と。

※パラコンパクト多様体なら存在するというのが「多様体入門 松島与三　著」p83。
こういった細かい点に（もっと）気お使うのが数学の良い所なんだろうケド、、、
まあ、あくまでイメージを掴みたいと言う目論見なので。