Note105 リー群の表現とリー環の表現

Lie 群とLie環の関係とかその辺が頭の中でバラバラになっているので少しその概観を整理しておこうと思う。あくまでイメージなので厳密なところは目をつぶりますけど。まあ、メモです。

さて、Lie 群G 上のベクトル場X が任意のa ∈ G に対してX を左不変ベクトル場の時、左不変ベクトル場全体がLie環というのでした。
http://blogs.yahoo.co.jp/cat_falcon/20286025.html
http://blogs.yahoo.co.jp/cat_falcon/20286025.html
これはLie括弧積

が次の関係を満たしている場合をLie環

と定義されています。つまり左不変ベクトル場全体がこれらの関係を満たしているという事です。それでLie群上の１助変数部分群（Lie群）との関連は
http://blogs.yahoo.co.jp/cat_falcon/20315119.html

という事で次のような関係があったのでした。
Lie 群G の左不変ベクトル場X ∈ g に対して1助変数部分群が1 つ定まる。
そして、これは１助変数変換群になっていて
http://blogs.yahoo.co.jp/cat_falcon/20315119.html
Lie群の要素gに対して引き起こされるベクトル場がGの無限小変換というのでした。
http://blogs.yahoo.co.jp/cat_falcon/20073037.html
http://blogs.yahoo.co.jp/cat_falcon/23490392.html
そして、無限小変換はLie群の生成子として書くことが出来る。
http://blogs.yahoo.co.jp/cat_falcon/23728951.html
そして任意のLie群の要素ｇは

として表す事が出来て、無限小変換のLie括弧積は構造定数を表している。
Lie群は多様体の無限小近傍の線形近似として考えることが出来、Lie群にはリー代数が付随してくる事になるという事だろうか？。

そしてLie群Gに対応するLie環をｇ（ドイツ文字の小文字）と表す。そして群の表現とは群の要素を行列で表す事だった。
http://blogs.yahoo.co.jp/cat_falcon/20400659.html

それに対して環（代数）表現と言うのは

という事らしい。

（例）
一般線型群

のリー環は全行列環に次のように括弧積を入れたものが一般線型群のLie環になる。

正方行列の全体には加法・乗法が定義可能で環をなすので行列環という。Kのｎ×ｎ行列の行列環をK(n)と表記する。例えば実数行列環なら