Note106 Lie群・Lie環の随伴表現(Ad,ad)

Lie群・Lie環の随伴表現で前のノートを眺めていて？？？となってしまった。
「多様体入門松島与三　著」は後で気が付いて補足程度読んでいたのですが他の書籍でも随伴表現でAdとadというのが出てきます。

実はよく読めば「多様体入門松島与三　著」でもちゃんと分けている。
どうも「現代微分幾何入門野水克己　著」では読む側が適材適所で見極めているという前提があるようです。そういえば写像φの微分をφ*と書いていたりそうでなかったりしていました。

ちゃんと理解していればそうとしか解釈できないのけど見た目もスマートで良いのです。
しかし私のようなシロートはそのちょっとした事で躓くのです。
さて、Gをリー群としたとき対応するリー環の随伴表現はそれぞれ次のように分けて表記するようです。

（「多様体入門松島与三　著」）

を使うと、

が得られます。なので表記上は適材適所で次のような表記上の置換を考えれば良いはずです。

それで以前計算した公式を「多様体入門松島与三　著」p179,p180に合わせてみると。

となってちゃんと合致します。

それで、「多様体入門松島与三　著」ではadを冒頭で書いたように新たな表現として異なる意味を持った記号として登場している事が分かりました。