Note19 Lie群と１助変数部分群

今日は、先日の左不変ベクトル場に関する続きです。

一般にベクトル場Xで

この関係で曲線を積分曲線という場合があります。Lie群Gの左不変ベクトル場Xとその積分曲線で

が成り立ちます。これを１助変数部分群といいます。これは次のようにして確かめられます。

とすると、

Xの左不変性から

となるのでΨtはXの積分曲線になっています。ここでGの要素を

ととると、

を満たしています。ここで次のように置きます。

微分方程式の解の一意性から

と、確かに成り立っています。さらに

なのでこれは１助変数変換群でもあるわけでなので１助変数「部分」群と呼ばれるわけですね。
１助変数部分群は次のように書かれます。Xを１助変数部分群が生成するベクトル場の時、

なんで指数関数なのか？（意味ありげな記法ですね）

から、

これは任意のｆに対してだから形式的に

で、次のように置くと、

これで

と同一視すると（、、、？）

となります。これを改めて書き直すと（「現代微分幾何入門 野水克己　著」p21 (1)式）

形式的には初期条件と解は

と書けます。そういった経緯でそんな記法が使われるようです。

「同一視すると」というのは私の勝手な解釈です。そうでもしないとその次の式の意味が今ひとつ納得出来ないので、、、

今日は「現代微分幾何入門 野水克己　著」p２１でした。