Note43 接続形式（１）

接続の与えられた主ファイバー束P(M,G) のLie環（左不変ベクトル場全体）に値を持つ１次微分形式ωで、

Quはuにおける水平部分空間。
このωを接続の接続形式(connection form)という。uを通るファイバーに接する接ベクトル空間（垂直部分空間）Vuの任意のベクトルがどれも一定のベクトル場Aになるという意味だろう。

この定義が第二のつまづき点だ。そもそも微分形式の定義はベクトル場を定義域に持つ実数または複素数の値を与える関数として定義されていた。それがここで突然、ベクトル場を定義域に持つ実数またはベクトル場を与える関数になっている。これはどういう事なのか？、どう考えて良いのか？。
「現代微分幾何入門 野水克己　著」p４２では「きめる。」とあっさり。
どう決めるのか分かるようにして欲しいが、、、

自然な考え方として具体的にはωiを１次微分形式として主ファイバー束P(M,G) のLie環に値を持つ１次微分形式を次のように定義すれば、、、

と考えれば次のようにつじつまは合う。

明記が無いので。そう考えるとこれが接続形式となると云うのは、

という事になるのだが、、、。

今日は「現代微分幾何入門　野水克己　著」p４２。