Note45 接続形式（３）

「現代微分幾何入門 野水克己　著」では接続形式の局所的な表示というか具体的な形では書かれていないのでその局所表示

を求めてみようと思う。で、結構今日はヘビーだ。

まず、主ファイバー束の断面Ψと座標変換の間には次のような関係がある。断面Ψと座標変換関数が同じΨという記号を使ってしまったので混同してしまいそうです。なので座標変換関数にはｇを使うと、

これは、次のように確かめられます。

この時、断面ΨαとΨβは同一のファイバー上に存在するからGの要素gが存在して

断面の定義から

接続形式の局所表示（切断による引き戻し）には次の関係がある。

まず、曲線を次のように定義してみる。

この時、断面による引き戻しは

ここで、

の関係があるから、

ここで、各項を見ていくと、１項目は、

は天下り的だけど、

と分かる。２項目は

で、次の対応する基本ベクトル場を考えると、

と置くと、

になっている。これを確かめてみる。１助変数変換群（曲線）を次のように定義してみると、

この曲線の接ベクトル（t=0）では

なので、

従って、

が引き起こすベクトル場は、

以上の事から

という事で次式を得ます。

という事でこれは接続形式の引き戻しにの表示結果と分かった。

は略記された様式だと判明した。これでこんな式が出てきても慌てなくて済む。