Note46 曲率形式

共変外微分が次のように定義されます。
ベクトル空間Vに値をとる主ファイバー束P(M,G)上のp次微分形式αに対して、共変外微分Dαは

DαはP上のVに値を持つ(p+1) 次微分形式になっている。局所表示による定義は

というように共変微分が入ってくる事からこの外微分を共変外微分というのだと思う。
特に０次の場合は

なので

さらに

という関係も外微分と同じように成り立っている。
他にも外微分と類似した関係が成り立ちます。p次微分形式ω1に対して

(2010/01/02追記)

それで、主ファイバー束P(M,G)に接続が定義できてその接続形式ωに対して、

を曲率形式（curvature form）と言う。接続形式と同様な公式が曲率形式においても成り立つ事が知られている。これは演習になっているので後日トライしてみる事にする。

さて、曲率形式の幾何学的なイメージを考えてみる。その前に

を確かめておきます。



ですから確かに成り立っています。

ベクトル場X,Yを水平として見ると、

曲率形式を求めてみるとベクトル場X,Yを水平としたからX=hX,Y=hYです。なので

または、

次にベクトル場Xの垂直成分をvXのように書く時、[X,Y]の垂直成分（ファイバーの接ベクトル）はある基本ベクトル場に等しいから

と書くことが出来ます。（紛らわしいですね。Aの右肩の＊は基本ベクトル場の＊ですね。）なので

つまり、

次にファイバー上の点uに対して底空間Mの点x=π(u)を考えてｘにおける座標近傍の局所座標系で次のベクトル場を考える。

この接ベクトルU、Vの水平持ち上げをX,Yとする。（上肩の＊は水平持ち上げの意味）

なので、（垂直成分ならその射影はゼロになるが水平成分の射影がゼロになるのは）

です。従って水平成分と垂直成分で分けて考えると

なので[X,Y]は垂直成分のみベクトル場になっている事が分かる。これは面白い。というのもベクトル場X,Yはそれぞれ水平としていたからです。

「現代微分幾何入門 野水克己　著」p53ではこの事から

となって曲率形式は垂直距離に相当していると。で、これはファイバーに接したベクトル場だから基本ベクトル場に等しくなって、

という事？

正確に言えるのは