Note47 ポアンカレ代数（Poincare Algebra）関係（１）

Λはローレンツ変換、aを時空並進としたときポアンカレ変換

と書けました。この時、次の関係が分かります。

さて、時空並進・生成子P、ローレンツ変換・生成子M

からポアンカレ変換は無限小時空並進量をa、無限小ローレンツ変換Λの無限小パラメータをεとして

を使うと次のポアンカレ変換の生成子が定義できます。

この時、生成子には次のような関係（ポアンカレ代数関係）が成り立っています。

ただし、無限小パラメータの向きを変えても良いので

として

と定義しても良い。この場合はPとMの符号も変わりMの反対称性を使うと先程のポアンカレ代数関係は

となる。こうすると「場の量子論」中西襄著 p53,p54 と一致した式を得る事が出来ます。

この交換関係にどんな意味があるのかは今は良く分かりません。

ただ量子論にとってこの関係はとっても重要らしい。意味はとりあえずほかっておいてこの関係式はどうやって出てくるのだろうか？、とりあえず手がかりはポアンカレ生成子と無限小ローレンツ変換だろう。

例えば最初の式はPPという項が出てくるポアンカレ変換を考えれば良さそうだ。それと無限小の計算なので高次の無限小の項は切り捨てていけば良いだろうから式の展開結果は意外と簡素になるかも知れない（と漠然と思っている）。
基本的には

を使って左辺と右辺をそれぞれ計算して共通項を比較する事で等式を満たすべき条件が得られるだろうからそこからポアンカレ代数関係が見えるのでは無いかと思います。

次回からはちょっとこの３つの関係式の導出を試みる事にする。と言い切ってしまったが、、、
まあ良い、所詮シロートの無謀な独学ですからね。