Note110 再び測地線

曲線xに沿って平行な移動をするベクトルζは

でした。計量テンソルがあると距離を測ることができます。計量が与えられた場合この時のｔパラメータは通常曲線の長さ（弧長）にとる。なので表記上は

と書かれます。アフィンパラメータの条件から弧長の定数倍および定数分の増減したパラメータでも良い。この時、多様体M上の２点間を結ぶ全ての曲線の中で最短コースとなる曲線は測地線になっています。

さて、このようなコースを実際に求めるのはとても難しいです。そこで数値計算をしてみた。計算は曲面上に２点を与えてそれを境界条件として測地線の方程式を数値的に求めてみた。さらに２点を通過する最短コースも計算した。結果は測地線と最短コースは確かに同一の結果となっています。最短コースはGA法（遺伝的アルゴリズムによる最適解）で計算してみた。

右の球は左の結果を視点を変えてみたものです。ちょうど球の中心を通過する平面による球の断面線になっています（大円）。

ここで勘違いが起きるかもしれないので書いておくと測地線＝最短コースでは無いですね。最短コースならそれを測地線ですが逆は成り立ちません。