Note26 断面と共変微分

主ファイバー束P(M,G)ので、次のような恒等変換を断面と言います。

主ファイバー束P(M,G)の同伴ファイバー束で、次のような恒等変換を断面と言います。

特に構造群Gがベクトル空間に線形に作用しているとき、このベクトル空間をファイバーとした主ファイバー束P(M,G)の同伴ファイバー束が定義できる。この同伴ファイバー束をベクトル束と言います。何かと線形な仕組みがあると良い。そうするとこの断面全体はベクトル空間になっています。

こうして足し算と定数倍が使えるとΨの平行移動がイメージしやすい気がする。

平行移動を次のように略記することにします。

この時、断面のｔから０への平行移動による差は

一般にはこの差はゼロにならない。そのため次のような変化率を求める事ができる。

この結果を「共変微分(covariant derivative)」と言います。xtがベクトル場の接線（積分曲線）である場合、

また、xtに沿っているので

とも書きます。またΨが平行移動で不変なら（つまり平行移動しても変化しないでのあれば）

という事になります。ベクトル束の共変微分は以下の性質を満たすものとして定義できる。

※fとψの掛け算は勝手に入れ替えられない点に注意
ベクトル空間が０階ベクトルつまりスカラーφの場合

と定義する。実際M上の関数φ、ψに対して

なので共変微分の性質を満たしている。また、ベクトル場Xに対して

次の公式が成り立つ。ωは１次微分形式

ω(Y)はM上の関数だから

従って、

また、関数の微分形式の定義df(X)=Xf から

となる。

この共変微分は以下の性質を持っています。

この４条件は重要で、この４条件を満たす演算が存在できる場合これまでのファイバー束の話（接続）は忘れてしてしまっていいらしい。つまり逆にこの４条件が整えば接続が与えられたという事になるらしい。今更っていう感じがしますが、、、

しかし、断面Ψは場の量とみなせるがそれこそ各点で異なる。しかも座標系はふらふらととした状態で各点で異なっている。そうなるとそんな無関係なものを比較（引き算）する事に意味があるのだろうか？