Note72 捩れについて

捩れた空間を無理やり描くとこうなる。

曲率テンソル場は線形接続で定義される。「現代微分幾何入門 野水克己　著」p78。

局所形式では

でした。線形接続ではさらにねじれ率（捩率）テンソル（torsion tensor）場が次のように定義されています。

局所形式では

となる。ただし、これも曲率テンソルの局所形式を得る時と同様に

を計算すれば簡単に示す事が出来る。ただし、

このように０にならない幾何も考える事ができるがその場合は構造定数と呼ばれる項が付随する事になるようだ。
線形接続の特別な場合としてリーマン接続 Riemannian connection あるいはレビ・チビタ接続 Levi-Civita. connectionを以前見てみましたがこの場合は

なので捩率テンソル場は恒等的にゼロになっています（torsion free）。単純な線形接続の例と考えても良いと思う。したがって捩率テンソルT は接続のLevi-Civita 接続からのずれ具合とも言える。

それで、捩率がゼロの場合は

という公式が直ぐに得られる。

捩れのイメージとしては例えば次のような感じだろうか