Note89 Lie群のGenerator(生成子)

Lie群の生成子というのはLie群Gの要素が

という解析関数と見なせて生成子とよばれるTとパラメータθを使って

と書けるという事でした。もっとも単純なのは電磁ポテンシャルAで出てきたユニタリ群U(1)でしょうか？位相を変えると言う操作はLie群U(1)による変換、これは単に複素平面上での回転になる。

この時のU(1)のジェネレータは１という事になります。

それでこのジェネレータ同士に次のような演算が定義できる。

Lie括弧積です。cを構造定数と呼びます。基底ベクトル場のLie括弧積はまたベクトル場になるのであればその結果は基底の一次結合で書けるはずです。

なのでジェネレータは基底に対応したものと思う事が出来ます。なので生成子と呼ばれる理由も分かります。リー群の例としては以前にも少し書いたけど

のようなものがある。これらは古典リー群(classical Lie group) と呼ばれている。何故、古典なのか？上記のようなリー群は行列として定義されているが世の中それほど簡単ではないらしい。このような行列で表現できないがリー群となるものが存在しているようでそれらは，例外リー群(exceptional Lie group)とよばれている。E8と呼ばれる例外リー群が巷に話題になっている超弦理論と関係あるらしいが私には今はその片鱗すら分かりません。