Note42 対称性と保存量と無限小変換生成子

素粒子をｘ軸に沿って無限小εだけ移動した無限小空間並進を考えてみる。

これは座標系を移動したのだから-εだけ座標系を移動すれば素粒子をｘ軸に沿ってaだけ移動した無限小空間並進となる。つまり、

それで量子力学ではｘ方向の運動量は次の演算子でした。

つまり、

ｘ方向の運動量はｘ軸に沿ってaだけ移動した無限小空間並進の生成子になっている。さらに運動量は保存量だからやっぱり保存量は無限小変換の生成子になっている。もちろんこれは一般の空間並進にそのまま成り立つわけで、

つまり、

さらに同様な事は時間発展に関しても言えて

エネルギーは保存量だからやっぱりこれも無限小変換の生成子になっている。もちろん保存量は観測可能な量だから実数値です。なのでこのような生成子はエルミート演算子（？）

対称性と保存量と無限小変換生成子
少し整理して考えるとユニタリ変換の生成子Qはその無限小変換における対称性の要請とネーターの定理から示される保存量が対応している。

こんなイメージだろうか？
そしてこの保存量は観測可能な量、実数値なわけで生成子はエルミート演算子である。
と言い切って良いのか？