Note97 面素（面積素）、線素

ベクトル解析で使われる面素、線素を微分形式で書いてみるとかなりスッキリする事が分かった。

まず面素から曲面ｒを次のようにパラメータ表示しておく。

面素は次のようなベクトルとして定義する。

曲面ｒで書いた場合は

そうすると面素は次のようなベクトルになる。

といった具合にスッキリする。それで曲面に沿った積分（面積分）というのは

という事で微分形式の積分として再認識できる。形状が閉じている場合は

と書かれる。

同様に線素も定義できて、曲線を次のようにパラメータ表示しておく。

線素は次のようなベクトルとして定義する。

曲線ｒで書いた場合は

そうすると線素は次のようなベクトルになる。

といった具合にスッキリする。それで曲線に沿った積分（線積分）というのは

という事で微分形式の積分として再認識できる。閉曲線の場合は

と書かれる。

という事で微分形式から眺めると線積分や面積分が一望できる。
いつも思うが数学の記号って言うのは本当に巧い事出来ている。