Note23 同伴ファイバー束（２）

同伴ファイバー束Eにも射影が定義されます。そして射影πEは次のように定義します。

(u,ζ)と(v,η)が同値なら、

と定義します。これはつまり、(u,ζ)の同値類全体が

という事になります。そこで、

というP上の点u0を一つ決めるとその他のuは

という移動で得られて、これが、

となっています。この同値関係は

でした。この関係で見てみると

なので確かに同値関係になっています。この事から結局は

という事になります。ここで、Fからの写像を考えて見ます。この写像(微分同相写像）をPの要素と同じ

を使ってと書くと、

中々直感的で良い表記だ。この写像を使うと、同値関係は

で結ばれていたから同値類の代表元で書けば、

で、同値の条件から

なので、上記の写像で書けば、

なので写像ugは次の関係を満たしています。

こうすると、次のように同伴ファイバー束のイメージが浮かんでくる。

P上の１点uを取ったとき、多様体Fの各点ζに対して

が(u,ζ)の同値類全体でした。つまり、P上の１点uを通るファイバー（ｂ上のファイバー）に対して構造群を通して多様体F上の点ζ、η、、、等がｂ上のファイバーに結ばれている。という意味と考えて良いのだろう、、、？この点は少し置いておいて主ファイバー束Pは局所的には底空間Mの近傍とGの直積と位相同型でした。

つまり、次のような位相同型写像が定義されていました。

つまり、位相同型の意味で

同様に、

このような同伴したファイバー束においてもb上のファイバーが同じように定義される。

ここで、

だった。この事からu,vの違いは構造群Gのによる変換gの違いだけという事で、これは何を意味しているのかと言えば、

多様体Fに構造群Gによって不変な仕組みがあれば、その構造はそっくりM上のファイバー

に再生される

という事になる。

おーっなんかスゴイです。

つまり、ファイバー束Eは多様体Mの各点に多様体Fと同じ構造のM上のファイバーが付随しているものというイメージが出来上がる。今のところぼんやりとではあるけど、ある空間の各点に異なる空間の構造がペタペタと張り付いたようなイメージ、あるいはある空間の各点に異なる空間の構造がヒゲのように生えている、そんなイメージだ。

今日は「現代微分幾何入門 野水克己　著」p３４、３５でした。