Note168 次元正則化(dimentional regularization)

次元正則化は, 紫外発散を回避する正則化で例えば４次元の計算（４は次元）

と発散する計算を次元をdというパラメータに置き換えて計算して

とする方法。どうしてこんな変態的な計算をするのか？簡単な具体例（イメージとして）では
　　

実際にはこういう発散を回避するためにｄ次元（ｄは複素数）にまで解析接続するという事らしい（狂気としか思えないのだが、、）。こういう計算の方が発散する事より異常だと感じてしまう。

主に注意するのはディラック・γでｄ次元なので

というように公式の姿も異なる。例えば

のような置換を行う必要がある。ただこうやっても形式的にはｄの式で書かれているだけでd=4では発散するんだからどうなんだろう？具体的には

といった内線ループからの積分が絡んでくる。もちろん発散するけど４ではくdと置いてやると

これは具体的な結果を出す事が出来る。

ただ結局はｄ＝４では発散するんだし、、、
さらにぶっ飛びなのはｄを複素数と思ってしまえという暴挙にでる。形式的には複素数ｄの関数として解析接続してしまえとい事らしい。それでも結局はｄの実数部が４となると発散するから、、、
まあ、有限部分の抽出という意味では場の量子論の苦肉の策なのかも知れない。
結局、利便性だけか？