Note111 主ファイバー束に同伴

ずーっと気になっていた事なのだが、同伴ファイバーの何処が同伴でファイバー空間に構造を持たせるというイメージがなかなかスッキリしない。今日、そんな事をふと思い出してF君に聞いてみたら何となくわかった気がした。多分、こういう事だろうと思った点を今日はメモとして残しておく事にした。

主ファイバー束は局所的には

ファイバーはGと同相になっている。それで空間Fを持ってきて

を考える。今度はファイバーに空間Fの構造を入れたい。

それでまずGの各要素とFの間に対応関係を作ってやれば良い

そのためにGによる右作用を考えてみる。F上の１点

を考えると各Gの要素gに対して

とすればGの各要素とFの間に対応関係が出来る。これで主ファイバー束にいつでもFが「同伴」しているようなイメージが出来上がる。まさに同伴ファイバーという事だろう。ただ、今の場合、F上の１点を代表に選んでいるので同伴ファイバー束は次の同値関係で同一視するということで定義されています。

こうすることでF上の１点を特別に選んでおく必要がなくなります。

なので、

を代表元に選んでいても問題ないのだが、
このような同値関係を設定しないでGの表現として座標回転のようなSO(3)の行列を取ったとするとF上の１点

に対して

つまり、F上の１点を色んな方向に回転して出来る点の集まりとなって、対応付けされるFの要素は単純な球に制限されてしまう。

これではFの構造を作った事にはならない。このようなF上の１点を代表として移りあえる全てを

という一つの要素として扱う。これが先程の同値関係として集められる。そして同値関係になかった別の要素の一群は

として分類される。

結局この同値関係による分類によってFの全てが再生される事になる。
それでそれぞれがファイバーという事になる。というイメージを教えてもらったのだが、、