Note25 水平持ち上げと平行移動

曲線の水平持ち上げは一意だったからx0上のファイバーの点u0に対してx1上のファイバーの点u1も一意に決まる事になる。これを曲線τの沿った平行移動τと定義すようです。
また、構造群Gの任意のaに対して次のような写像を同じ記号τで表す。

そうすると、

これは、つまり、

この事から平行移動τはx0上のファイバーからx1上のファイバーへの滑らかな（微分同相）写像になっている。結局M上の滑らかな（微分可能）曲線族

を与えると、それに対応した構造群の曲線

が存在して

となっています。

そしてこの平行移動の概念は同伴ファイバー束に対して次のように導入されます。

主ファイバー束への水平持ち上げ、

主ファイバー束への水平持ち上げは構造群Gの要素ｇによって

としてv0からv1への水平持ち上げが得られます。

このとき、これを同伴ファイバー束での平行移動と定義します。

この平行移動は写像は、

になっています。

今日は「現代微分幾何入門 野水克己　著」p49,50,61
ホロノミー群、曲率形式、接続の還元はまだイメージが沸かないし、、取り合えずほかっておく。